Question

某汽車城銷售某種型號的汽車，每輛進貨價為25萬元，市場調研表明：當銷售價為29萬元時，平均每周能售出8輛，而當銷售價每降低0.5萬元時，平均每周能多售出4輛．如果設每輛汽車降價x萬元，每輛汽車的銷售利潤為y萬元．（銷售利潤=銷售價-進貨價）
（1）求y與x的函數關系式；在保證商家不虧本的前提下，寫出x的取值范圍；
（2）要使該汽車城平均每周的銷售利潤不低于48萬元，那么銷售價應定在哪個范圍？

Answer 1

分析：（1）原價為29萬元，降價x萬元，現在售價為（29-x）萬元，又進貨價為25萬元，根據銷售利潤=銷售價-進貨價，列出y關于x的關系式，并根據y大于等于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集再根據x大于0得到x的范圍；
（2）設這種汽車平均每周的銷售利潤為z萬元，根據銷售價每降低0.5萬元時，平均每周能多售出4輛，由降價x萬元除以0.5，商是幾，可得出每周多售幾個4輛，進而得出現在的銷售量，用y乘以銷售量表示出z，把第一問得出的y代入，得到z關于x的二次函數，配方后根據二次項的系數小于0，得到拋物線開口向下，令z=48求出對應的x的值，由x的值根據二次函數的圖象與性質得出滿足題意的x的范圍．

解答：解：（1）由題意得：
y=29-25-x，
∴y=-x+4（0≤x≤4）；

（2）假設這種汽車平均每周的銷售利潤為z萬元，
則z=（8+

x

0.5

×4）y=（8x+8）（-x+4）=-8x²+24x+32=-8（x-

3

2

）²+50，

當z=48時，-8x²+24x+32=48，
解得：x₁=1，x₂=2，
觀察圖形知，當1≤x≤2時，即銷售價格在27萬元至28萬元之間時（含27萬、28萬元）該汽車城平均每周的利潤不低于48萬元．

點評：此題屬于一次函數與二次函數的綜合題，解此類題的應注意：（1）求解策略與方程解應用題基本相同，其關系是要根據題意，尋求等量關系，不過這里應注意自變量的取值范圍；（2）二次函數常用來解決最優化問題，這類問題一般是求函數的最值，但有時要根據自變量的取值范圍和函數的增減性確定；（3）解決實際問題時的基本思路：理解問題、分析問題中的常量和變量、用函數表達式表示出它們之間的關系、利用二次函數的有關性質進行求解、檢驗結果的合理性．