Question

如圖，以O為圓心，4為半徑的圓與x軸交于點A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度數；
（2）P為x軸正半軸上一點，且PA=OA，連接PC，試判斷PC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（3）有一動點M從A點出發，在⊙O上按順時針方向運動一周，當S_△MAO=S_△CAO時，求動點M所經過的弧長，并寫出此時M點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等邊三角形，
故∠AOC=60°．

（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
而OC是⊙O的半徑，故PC與⊙O的位置關系是相切．

（3）如圖；有三種情況：
①取C點關于x軸的對稱點，則此點符合M點的要求，此時M點的坐標為：M₁（2，-2）；
劣弧MA的長為：=；
②取C點關于原點的對稱點，此點也符合M點的要求，此時M點的坐標為：M₂（-2，-2）；
劣弧MA的長為：=；
③取C點關于y軸的對稱點，此點也符合M點的要求，此時M點的坐標為：M₃（-2，2）；
優弧MA的長為：=；
④當C、M重合時，C點符合M點的要求，此時M₄（2，2）；
優弧MA的長為：=；
綜上可知：當S_△MAO=S_△CAO時，動點M所經過的弧長為、、、，
對應的M點坐標分別為：M₁（2，-2）、M₂（-2，-2）、M₃（-2，2）、M₄（2，2）．
分析：（1）由于∠OAC=60°，易證得△OAC是等邊三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的結論知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP邊上的中線等于OP的一半，由此可證得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判斷出PC與⊙O的位置關系．
（3）此題應考慮多種情況，若△MAO、△OAC的面積相等，那么它們的高必相等，因此有四個符合條件的M點，即：C點以及C點關于x軸、y軸、原點的對稱點，可據此進行求解．
點評：此題主要考查了切線的判定以及弧長的計算方法，注意（3）題中分類討論思想的運用，不要漏解．