Question

已知拋物線y=x²+bx+c與直線y=x+1有兩個交點A、B．
（1）當AB的中點落在y軸時，求c的取值范圍；
（2）當AB=2

2

，求c的最小值，并寫出c取最小值時拋物線的解析式；
（3）設點P（t，T）在AB之間的一段拋物線上運動，S（t）表示△PAB的面積．
①當AB=2

2

，且拋物線與直線的一個交點在y軸時，求S（t）的最大值，以及此時點P的坐標；
②當AB=m（正常數）時，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此時點P的坐標（t，T）滿足的關系，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）若AB的中點落在y軸上，那么A、B的橫坐標互為相反數，即兩個橫坐標的和為0；可聯立兩個函數的解析式，那么A、B的橫坐標即為所得方程的兩根，根據方程有兩個不等的實數根及兩根的和為0即可求出c的取值范圍；
（2）由于直線AB的斜率為1，當AB=2

2

時，A、B兩點橫坐標差的絕對值為2；聯立兩個函數的解析式，可得到關于x的方程，那么A、B的橫坐標就是方程的兩個根，可用韋達定理表示出兩根差的絕對值，進而求出b、c的關系式，即可得到c的最小值以及對應的b的值，由此可確定拋物線的解析式；
（3）①在（2）中已經求得了b、c的關系式，若拋物線與直線的一個交點在y軸，那么c=1，可據此求出b的值；進而可確定拋物線的解析式，過P作PQ∥y軸，交AB于Q，可根據拋物線和直線AB的解析式表示出P、Q的縱坐標，進而可求出PQ的表達式，以PQ為底，A、B橫坐標的差的絕對值為高即可求出△PAB的面積，進而可得出關于S（t）和t的函數關系式，根據函數的性質即可求出△PAB的最大面積及對應的P點坐標；
②結合（2）以及（3）①的方法求解即可．

解答：解：（1）由x²+bx+c=x+1，得x²+（b-1）x+c-1=0①．
設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （x₁＜x₂）．
∵AB的中點落在y軸，
∴A，B兩點到y軸的距離相等，即A，B兩點的橫坐標互為相反數，
∴x₁+x₂=0，
故

b-1=0 △=(b-1)2-4(c-1)＞0

∴c＜1；（3分）

（2）∵AB=2

2

，如圖，過A作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，它們交于G點，
∵直線y=x+1與x軸的夾角為45°，
∴△ABG為等腰直角三角形，
而AB=2

2

，
AG=

2 2

2

=2，
即|x₁-x₂|=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
由（1）可知x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=c-1．
代入上式得：（b-1）²-4（c-1）=4，
∴c=

1

4

(b-1)2≥0∴c的最小值為0；此時，b=1，c=0，拋物線為y=x2+x；

（3）①∵AB=2

2

由(2)知c=

1

4

(b-1)2成立．
又∵拋物線與直線的交點在y軸時，交點的橫坐標為0，
把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．
∴這一交點為（0，1）；
∴

1

4

(b-1)2=1∴b=-1或3；
當b=-1時，y=x²-x+1，過P作PQ∥y軸交直線AB于Q，則有：
P（t，t²-t+1），Q（t，t+1）；
∴PQ=t+1-（t²-t+1）=-t²+2t；
∴S（t）=

1

2

PQ×

2

2

AB=-t²+2t=-（t-1）²+1；
當t=1時，S（t）有最大值，且S（t）_最大=1，此時P（1，1）；
當b=3時，y=x²+3x+1，同上可求得：
S（t）=

1

2

PQ×

2

2

AB=-t²-2t=-（t+1）²+1；
當t=-1時，S（t）有最大值，且S（t）_最大=1，此時P（-1，-1）；
故當P點坐標為（1，1）或（-1，-1）時，S（t）最大，且最大值為1；
②同（2）可得：（b-1）²-4（c-1）=m²，
由題意知：c=1，則有：
（b-1）²=m²，即b=1±m；
當b=1+m時，y=x²+（1+m）x+1，
∴P（t，t²+（1+m）t+1），Q（t，t+1）；
∴PQ=t+1-[t²+（1+m）t+1]=-t²-mt；
∴S（t）=

1

2

PQ×

2

2

AB=

1

2

（-t²-mt）×

2

2

m=-

2

4

m（t+

m

2

）²+

2

16

m³；
∴當t=-

m

2

時，S（t）_最大=

2

16

m³，
此時P（-

1

2

m，-

m2

4

-

m

2

+1）；
當b=1-m時，y=x²+（1-m）x+1，同上可求得：
S（t）=-

2

4

m（t-

m

2

）²+

2

16

m³；
∴當t=

1

2

m時，S（t）_最大=

2

16

m³，
此時P（

1

2

m，

3

4

m2+

1

2

m+1）；
故當P（-

1

2

m，-

m2

4

-

m

2

+1）或（

1

2

m，

3

4

m2+

1

2

m+1）時，S（t）有最大值，且最大值為

2

16

m³．

點評：此題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，根與系數的關系，根的判別式，函數圖象交點及圖形面積的求法等知識，綜合性強，難度較大．