Question

【題目】如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分別是AD、CD上的動點（包含端點），且AE+CF=4，連接BE、EF、FB．

（1）試探究BE與BF的數量關系，并證明你的結論；

（2）求EF的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）EF的最大值為4，最小值為．

【解析】試題分析：（1）AE+CF=4，DF+CF=4，則DF=AE,根據題目已知條件可通過角邊角證明,從而證明BE=BF（2）可先證明BEF為等邊三角形。那么BE=BF=EF,點E在AD上運動，當BE AD時，BE最短，當E與A或D重合時最長。

解：（1）BE=BF，證明如下：

∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，BD=4，

∴△ABD、△CBD都是邊長為4的正三角形，

∵AE+CF=4，

∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，

又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，

在△BDE和△BCF中，

DE=DF,∠BDE=∠C,BD=BC,

∴△BDE≌△BCF（SAS），

∴BE=BF；

（2）∵△BDE≌△BCF，

∴∠EBD=∠FBC，

∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，

∴∠EBF=∠DBC=60°，

又∵BE=BF，

∴△BEF是正三角形，

∴EF=BE=BF，

當動點E運動到點D或點A時，BE的最大值為4，

當BE⊥AD，即E為AD的中點時，BE的最小值為，

∵EF=BE，

∴EF的最大值為4，最小值為．