Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分線，點O在AB上，⊙O經過B，D兩點，交BC于點E．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若AB=6，sin∠BAC=，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.2.

【解析】試題分析：（1）連接DO，由等腰三角形的性質和角平分線的定義得出∠1=∠3，證出DO∥BC，由平行線的性質得出∠ADO=90°，即可得出結論；

（2）設⊙O的半徑為R，由三角函數求出BC，由平行線得出△AOD∽△ABC，得出對應邊成比例，求出半徑OD，過O作OF⊥BC于F，則BE=2BF，如圖所示：則OF∥AC，由平行線的性質得出∠BOF=∠BAC，由三角函數求出BF，即可得出結果．

試題解析：（1）連接DO，如圖1所示

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠1=∠2，

∵OB=OD，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴DO∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ADO=90°，

即AC⊥OD，

∴AC是⊙O的切線．

（2）設⊙O的半徑為R，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin∠BAC=，

∴BC=×6=4，

由（1）知，OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC，

∴，

∴，

解得：R=2.4，

過O作OF⊥BC于F，如圖所示：

則BE=2BF，OF∥AC，

∴∠BOF=∠BAC，

∴sin∠BOF=，

∴BF=×2.4=1.6，

∴BE=2BF=3.2．