Question

（2009•衢江區(qū)一模）如圖平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+x+2交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）直線x=m（0＜m＜4）在線段OB上移動(dòng)，交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．求當(dāng)m為何值時(shí)，EF=DF？
（3）連接CE和BE后，對(duì)于問(wèn)題“是否存在這樣的點(diǎn)E，使△BCE的面積最大”，小紅同學(xué)認(rèn)為：“當(dāng)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，△BCE的面積最大．”她的觀點(diǎn)是否正確？提出你的見(jiàn)解，若△BCE的面積存在最大值，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BCE的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，那么可用兩種方法進(jìn)行求解．
①可分別求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，然后用勾股定理求證．
②可分別在直角三角形AOC和BOC中，用三角函數(shù)得出相關(guān)的銳角相等，然后通過(guò)證小直角三角形與△BAC相似來(lái)得出結(jié)論．
（2）本題由兩種求法：
①可根據(jù)△BDF和△BOC相似，用m表示出DF的長(zhǎng)，即可得出DE的長(zhǎng)，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將E點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出m的值．
②可先求出直線BC的解析式．由于DE=2DF，因此當(dāng)x=m時(shí)，拋物線的值是直線BC的值的2倍，由此可得出關(guān)于m的方程，即可求出m的值．
（3）本題要先求出△BEC的面積與E點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解．可設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)橫坐標(biāo)，用拋物線的解析式表示縱坐標(biāo)）．然后根據(jù)△BCE的面積=梯形CODE的面積+△BDE的面積-△BOC的面積；來(lái)得出關(guān)于△BCE的面積與E點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值和對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：（1）證明：對(duì)于y=-x²+x+2
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4；
當(dāng)x=0時(shí)，y=2
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴AB=OA+OB=5，
∴AB²=25
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5
在Rt△COB中，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形．

（2）解：∵直線DE的解析式為直線x=m，
∴OD=m，DE⊥OB．
∵OC⊥AB，
∴OC∥DE，
∴△BDF∽△BOC，
∴=
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，
∴DF=．
當(dāng)EF=DF時(shí)，DE=2DF=4-m，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，4-m）
∵E點(diǎn)在拋物線y=-x²+x+2上，
∴4-m=-m²+m+2
解得m₁=1，m₂=4．
∵0＜m＜4，
∴m=4舍去，
∴當(dāng)m=1時(shí)，EF=DF；

（3）解：小紅同學(xué)的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．
∵OD=m，DE⊥OB，E點(diǎn)在拋物線y=-x²+x+2上
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（m，-m²+m+2）
∴DE=-m²+m+2．
∵DF=2-m，
∴EF=DE-DF=-m²+2m
∵S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OD+EF•BD=EF•（OD+BD）
=EF•OB=EF•4=2EF
∴S_△BCE=-m²+4m=-（m²-4m+4-4）=-（m-2）²+4
∴當(dāng)m=2時(shí)，S_△BCE有最大值，△BCE的最大面積為4；
∵當(dāng)m=2時(shí)，-m²+m+2=3，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）
而拋物線y=-x²+x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴小紅同學(xué)的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用、直角三角形的判定、圖形的面積求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差．