Question

拋物線與x軸交于A(- 2，0)、B(6，0)兩點，與y軸交于點 C(0，-4)。
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖 1，連接AC、BC，點M(m，0)在線段AB上(不與A、B重合)，過點M作MN ∥AC，交BC于點N，連接CM，設△CMN的面積為 S，求S與 m之間的函數關系式；
(3)點D(4，k)在拋物線上，點E為在x軸下方的拋物線上的一個動點，如圖2所示，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：(1) ∵ 拋物線與x軸交于A(-2，0)、B(6，0)，
∴ 設拋物線的解析式為 y= a(x +2)(x -6)，
將點C的坐標代入，
解得a= ，
∴ 拋物線的解析式為   
(2)過點N作NH⊥x軸于點H，則△BHN∽△BOC，
∴
∵ A(-2，0)，B(6，0)，
∴ AB=8，BM=6-m      
∵ MN∥AC，
∴△BMN∽△BAC，
∴，
∴，
∴，
∴

=BM·（CO-NH）
     
    
(3)存在。    
∵ 點D(4，k)在拋物線上，
∴點D的坐標是(4，-4)，
∴點E在x軸下方，
∴AF為平行四邊形的邊，
∴E(0，-4)，DE =4，
∴滿足條件的點 F的坐標為( - 6，0)、(2，0)。