Question

如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A、D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點F，AB的中點E在x軸上，B點的坐標為（2，1），點P（a，b）在拋物線上運動.（點P異于點O）．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）過點P作CB所在直線的垂線，垂足為點R；
①求證：PF＝PR
②是否存在點P，使得△PFR為等邊三角形；若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.
③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為點S，試判斷△RSF的形狀．

Answer 1

（1）；（2）①過點P作PG⊥y軸，垂足為G，由題意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1），則，，，根據點P（a，b）為拋物線上的動點可得，變形得：，在Rt△PGF中，根據勾股定理即可證得結論；②存在，（，－3），（，－3）；③直角三角形

解析試題分析：（1）由題意可得點A的坐標為（2，－1），根據拋物線的頂點為坐標原點O可設拋物線的解析式為，再將點A（2，－1）代入即可求得結果；
（2）①過點P作PG⊥y軸，垂足為G，由題意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1），則，，，根據點P（a，b）為拋物線上的動點可得，變形得：，在Rt△PGF中，根據勾股定理即可證得結論；
②由P（a，b），F（0，－1），R（a，1），根據勾股定理可表示出RF的長，由①可知：PF＝PR＝1－b，則可得當時△PFR為等邊三角形，從而可以求得結果；
③連接SF、RF，由PF＝PR；PR∥FO可得∠1＝∠2，∠1＝∠3，即得，同理可得，則，即可得到結果.
（1）由題意可得：點A的坐標為（2，－1）
∵拋物線的頂點為坐標原點O
∴可設拋物線的解析式為：；
將點A（2，－1）代入可得：；解得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）①過點P作PG⊥y軸，垂足為G

由題意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1）
∴，，
∵點P（a，b）為拋物線上的動點
∴，變形得：
在Rt△PGF中，由勾股定理可得：
∴PF＝PR；
②存在點P，使得△PFR為等邊三角形；
∵P（a，b），F（0，－1），R（a，1）
∴
由①可知：PF＝PR＝1－b
∴當時△PFR為等邊三角形
解得：，（不合題意，舍去）
∴當時，有，解得：，
∴點P的坐標為（，－3），（，－3）；
③△RSF為直角三角形.
如圖，連接SF、RF

∵PF＝PR；PR∥FO
∴∠1＝∠2；∠1＝∠3
∴
同理可得：
∴
∴△RSF為直角三角形.
考點：二次函數的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．