Question

如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為

3

，DE=3，求AE．

Answer 1

（1）證明：連接OE，BE，
∵AB是直徑．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中點，
∴DC=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2

3

，BC=2DE=6，
∴AC=4

3

．
∴BE=3．
∴AE=

3

；
法2：∵AC=

AB2+BC2

=

(2 3 )2+62

=4

3

（8分）
∴BE=

AB•BC

AC

=

2 3 •6

4 3

=3（10分）
∴AE=

AB2-BE2

=

12-9

=

3

．（12分）