Question

如圖，固定一塊三角板，另一塊三角板按圖示開(kāi)始平移至兩條較大直角邊重合時(shí)停止．（兩個(gè)同學(xué)為一組，利用30°角的三角板作圖形的平移運(yùn)動(dòng)）
（1）觀(guān)察平移過(guò)程中的重疊部分是什么圖形？你能把它畫(huà)出來(lái)嗎？
（2）分別求出平移距離為4cm或10cm時(shí)，重疊部分的面積．
（3）若平移的距離為x，當(dāng)x

≤7cm

時(shí)，重疊部分為三角形；當(dāng)x

≥7cm

時(shí)，重疊部分為五邊形．
（4）若重疊部分的面積為Scm³，請(qǐng)寫(xiě)出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將右邊的一塊三角板固定，左邊的三角板從左往右平移，觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，平移過(guò)程中的重疊部分，剛開(kāi)始的三角形由小到大，后來(lái)是五邊形；
（2）根據(jù)平移距離為4cm或10cm時(shí)，重疊部分的圖形分別為三角形和五邊形，即可求出面積；
（3）由圖可知，當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形；當(dāng)x≥7cm時(shí)，重疊部分為五邊形；
（4）分兩種情況討論：①當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形；②當(dāng)14cm≥x≥7cm時(shí)，重疊部分為五邊形．

解答：解：（1）平移過(guò)程中的重疊部分是三角形或五邊形，如下圖：


（2）當(dāng)平移距離為4cm時(shí)，重疊部分是三角形OAA′，如右圖，此時(shí)AA′=4cm．
∵∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等邊三角形，
∴S_△OAA′=

3

4

×4²=4

3

（cm²）；
當(dāng)平移距離為10cm時(shí)，重疊部分是五邊形ODC′CE，如右圖，此時(shí)AA′=10cm．
∵AC=A′C′=7cm，
∴A′C=AC′=3cm，
∵∠A=∠A′=60°，∠AC′D=∠A′CE=90°，
∴C′D=CE=3

3

cm．
∴S_{五邊形ODC′CE}=S_△OAA′-S_△AC′D-S_△A′CE=

3

4

×10²-

1

2

×3×3

3

×2=25

3

-9

3

=16

3

（cm²）；

（3）若平移的距離為x，當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形；當(dāng)x≥7cm時(shí)，重疊部分為五邊形；
故答案為≤7cm，≥7cm．

（4）分兩種情況討論：
①當(dāng)x≤7cm時(shí)，重疊部分為三角形OAA′，如右圖，此時(shí)AA′=x．
∵∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△OAA′是等邊三角形，
∴S=S_△OAA′=

3

4

x²；
②當(dāng)14cm≥x≥7cm時(shí)，重疊部分是五邊形ODC′CE，如右圖，此時(shí)AA′=x．
∵AC=A′C′=7cm，
∴A′C=AC′=（x-7）cm，
∵∠A=∠A′=60°，∠AC′D=∠A′CE=90°，
∴C′D=CE=

3

（x-7）cm．
∴S=S_{五邊形ODC′CE}=S_△OAA′-S_△AC′D-S_△A′CE=

3

4

x²-

1

2

×（x-7）×

3

（x-7）×2=

3

4

x²-

3

（x-7）²=-

3 3

4

x²+14

3

x-49

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平移的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度中等，得出重疊部分的圖形隨平移的距離x的變化而變化，進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．