Question

【題目】如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，且A、C、E三點共線．AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ．以下五個結論：① AD=BE；② ∠AOB=60°;③AP=BQ； ④△PCQ是等邊三角形;⑤PQ∥AE．其中正確結論的有（　　）個

A.5B.4C.3D.2

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據等邊三角形的性質可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，再求出∠ACD＝∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AD＝BE，判斷出①正確，全等三角形對應角相等可得∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，再求出∠ACP＝∠BCQ＝60°，然后利用“邊角邊”證明△ACP和△BCQ全等，根據全等三角形對應邊相等可得AP＝BQ，CP＝CQ，判斷出③正確，根據∠AOB=∠PAC+∠BEC=∠QBC+∠BEC=∠BCA=60°，判斷出②正確；判斷出△PCQ為等邊三角形，判斷出④正確，根據等邊三角形的性質可得∠CPQ＝60°，得到∠ACB＝∠CPQ，再根據內錯角相等，兩直線平行可得PQ∥AE，判斷出⑤正確.

∵△ABC和△CDE均是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，（故①正確）；

∴∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，

∵∠BCQ＝180°2×60°＝60°，

∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AN＝BM，CM＝CN，（故③正確）；

∵∠AOB=∠PAC+∠BEC=∠QBC+∠BEC=∠BCA=60°，

故②正確；

∵∠BCQ＝60°，CQ＝CP，

∴△PCQ是等邊三角形，（故④正確）；

∴∠CPQ＝60°，

∴∠ACB＝∠CPQ＝60°，

∴PQ∥BD，（故⑤正確）；

綜上所述，結論正確的是5個．

故選：A．