Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E．過點D作DF⊥AC交AC于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為8，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S陰影= 16π﹣32．

【解析】試題分析：

（1）連接OD，AD，由AB是⊙O的直徑可得∠ADB=90°，結合AB=AC可得點D是BC的中點，結合點O是AB中點可得OD是△ABC的中位線，由此可得OD∥AC，結合DF⊥AC即可得到DF⊥OD，由此可得DF是⊙O的切線；

（2）連接OE，由DF⊥AC于點F結合∠CDF=22.5°可得∠C=67.5°，這樣結合AB=AC可得∠B=67.5°，從而可得∠BAC=45°，再結合AO=EO即可得到∠AOE=90°，這樣就可由S陰影=S扇形AOE-S△AOE求出S陰影的大小了.

試題解析：

（1）連接OD，AD．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，∠ADB=90°，

∴BD=CD，

∵AO=BO，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴半徑OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線．

（2）連接OE．

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠C=67.5°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

又∵⊙O的半徑為8，

∴S陰影=S扇形AOE﹣S△AOE=16π﹣32．