Question

如圖23，已知拋物線與軸相交于A、B兩點，其對稱軸為直線，且與x軸交于點D，AO=1．

1.填空：=_______。=_______，點B的坐標為(_______，_______)：

2.若線段BC的垂直平分線EF交BC于點E，交軸于點F．求FC的長；

3.探究：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使⊙P與軸、直線BC都相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.，，5，0。

2.由（1）得拋物線的解析式為，化為頂點式為。

∴C（2，4）。

∵E為BC的中點，由中點坐標公式求得E的坐標為（3.5，2），……………………………..3分

設直線BC的表達式為，則，解得。

∴直線BC的表達式為。……………………………………………………………5分

設直線EF的表達式為，

∵EF為BC的中垂線，∴EF⊥BC。∴由相似可得，即直線EF的表達式為。

把E（3.5，2）代入得 ，解得。

∴直線EF的表達式為 。……………………………………7分

在 中，令=0，得，解得。∴F（ ，0）。

∴FC=FB=5－。答：FC的長是。……………………………8分

3.存在。作∠OBC的平分線交DC于點P，則P滿足條件。

設P（2，），則P到軸的距離等于P到直線BC的距離，都是||。

∵點C的坐標是（2，4），點B的坐標是（5，0），

∴CD=4，DB=5－2=3。∴BC= 。

∴sin∠BCD=。……………………………………………………………………10分

當點P在軸上方時，得，解得。點P的坐標是（2，）。

當點P在軸下方時，得，解得。點P的坐標是（2，－6）。

∴在拋物線的對稱軸上存在點P，使⊙P與x軸、直線BC都相切，

點P的坐標是（2，），（2，－6 ）。………………………………………………………12分

【解析】（1）根據對稱軸和OA=1求出A、B的坐標，代入解析式求出b、c即可；

（2）求出C（2，4）求得E的坐標為（3.5，2）和直線BC的表達式為y=-x+，設直線EF的表達式為y=kx+b，根據EF為BC的中垂線求出k=和b=-推出直線EF的表達式為y=x-，令y=0，得x=即可求出答案；

（3）作∠OBC的平分線交DC于點P，設P（2，a），根據拋物線解析式求出頂點C的坐標與點B的坐標，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解