Question

【題目】閱讀理解：

（1）如圖（1），等邊△ABC內有一點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB= ．
分析：由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，此時△ACP′≌ ， 這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉化到一個三角形中從而求出∠APB的度數．
（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，求證：BE2+CF2=EF2 ．

Answer 1

【答案】
（1）150°；△ABP
（2）

解：把△ACF繞點A順時針旋轉90°，得到△ABG．連接EG．

則△ACF≌△ABG．

∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．

∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．

∴∠GAE=∠EAF=45°，

在△AEG和△AFE中，

∵

∴△AEG≌△AFE（SAS）．

∴EF=EG，

又∵∠GBE=90°，

∴BE2+BG2=EG2，

即BE2+CF2=EF2．則三角形是直角三角形．

【解析】解：（1）將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′處，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
因為B P P′不一定在一條直線上
連接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；
【考點精析】利用全等三角形的性質和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．