Question

【題目】如圖①，在等腰直角三角形中，，，D，E分別在上，且，此時有，．

(1)如圖①中 繞點A旋轉至如圖②時上述結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

(2)將圖①中的繞點A旋轉至DE與直線AC垂直，直線BD交CE于點F，若，，請畫出圖形，并求出BF的長.

Answer 1

【答案】(1)仍然成立；(2)畫圖見解析；長為或.

【解析】

（1）結論：BD＝CE，BD⊥CE．如圖1中，延長BD交CE的延長線于H．證明△BAD≌△CAE（SAS），即可解決問題；（2）分兩種中情況分別求解①當逆時針旋轉角度是45°時，②當逆時針旋轉角度是225°時，先證明△ABD≌△ACE（SAS），從而求解DE，EC 的邊長，再通過角的代換證明BF⊥EC，再證明Rt△DEF∽Rt△CEG，通過對應邊成比例，求出FC的長度，最后再直角三角形△BCF用勾股定理求得BF的長度．

解：(1) 仍然成立

延長交于點，

和都是等腰直角三角形，

，，

，

，

，

，

， ，

；

(2)如圖，長為或，

∵DE與直線AC垂直，

①當逆時針旋轉角度是45°時，如圖2：

在△ABD和△ACE中，

AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝45°，AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝EC，

∵AB＝20，AD＝5，

∴AC＝20，AE＝5，

∵∠DAE＝90°，

∴DE＝10，

∵△AED是等腰直角三角形，

∴AG＝GE＝5，

∴GC＝15，

在直角三角形GEC中，EC＝5，

又∵∠ABD＝∠ACE，∠BCA＝45°，∠ABC＝45°，

∴∠DBC+∠BCA+∠ACE＝90°，

∴BF⊥EC，

∵∠EFD＝∠EGC＝90°，∠EDF＝∠ECG，

∴Rt△DEF∽Rt△CEG，

∴ ，

∴，

∴EF＝，

∴FC＝4，

在Rt△ABC中，BC＝20，

在Rt△BCF中，BF＝；

②當逆時針旋轉角度是225°時，如圖3，

在△ABD和△ACE中，

AE＝AD，BAD＝∠CAE＝45°，AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝EC，

∵AB＝20，AD＝5，

∴AC＝20，AE＝5，

∵∠DAE＝90°，

∴DE＝10，

∵△AED是等腰直角三角形，

∴AG＝GE＝5，

∴GC＝25，

在直角三角形GEC中，EC＝5，

又∵∠ABD＝∠ACE，∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，

∴∠DBA+∠ABC+∠ACE＝90°，

∴BF⊥EC，

∵∠EFD＝∠EGC＝90°，∠EDF＝∠ECG，

∴Rt△DEF∽Rt△CEG，

∴，

∴，

∴EF＝，

∴FC＝，

在Rt△ABC中，BC＝20，

在Rt△BCF中，BF＝；