Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上的一點，且CE=8，BC=12，CD=4

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，∠C=30°，∠B=60°．點P是線段BC邊上一動點（包括B、C兩點），設PB的長是x．
（1）當x為何值時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形．
（2）當x為何值時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形．
（3）P在BC上運動時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形能否為菱形．

Answer 1

分析：（1）如圖，分別過A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G，容易得到AF=DG，AD=FG，而CD=4

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，∠C=30°，由此可以求出CG=6，DG=AF=2

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，又∠B=60°，BF=2，若點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形，則∠APC=90°或∠DPC=90°，那么P與F重合或P與G重合，根據前面求出的長度即可求出此時的x的值；
（2）若以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，由于AD=BE=4，且AD∥BE，有兩種情況：①當點P與B重合時，利用已知條件可以求出BP的長度；②當點P在CE中點時，利用已知條件也可求出BP的長度；
（3）以點P、A、D、E為頂點的四邊形能構成菱形．由（1）（2）知，當BP=0或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，根據已知條件分別計算一組鄰邊證明它們相等即可證明它是菱形．

解答：解：（1）分別過點A、D作BC的垂線，垂足分別為F、G．
∵∠C=30°，且CD=4

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，
∴DG=2

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，CG=6，
∴DG=AF=2

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，
∵∠B=60°，
∴BF=2．
∵BC=12，
∴FG=AD=4，（2分）
顯然，當P點與F或點G重合時，
以點P、A、D、E為頂點的四邊形為直角梯形．
所以x=2或x=6；（2分）

（2）∵AD=BE=4，且AD∥BE，
∴當點P與B重合時，
即x=0時．點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形，（2分）
又∵當點P在CE中點時，EP=AD=4，且EP∥AD，
∴x=8時，點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；（2分）

（3）由（1）（2）知，∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=4，
∴x=0時，且PA=AD，
即以點P、A、D、E為頂點的四邊形為菱形．（1分）
∵AB=BE，且∠B=60°，
∴△ABE為正三角形．
∴AE=AD=4．
即當x=8時，即以點P、A、D、E為頂點的四邊形為菱形，
∴當BP=0或8時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形是菱形．（1分）

點評：本題是一個開放性試題，利用梯形的性質、直角梯形的性質、平行四邊形的性質、菱形的性質等知識來解決問題，要求學生對于這些知識比較熟練，綜合性很強．