Question

【題目】如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和A′B′C重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2．

（1）如圖2，固定△ABC，將△A′B′C繞點C旋轉，當點A′恰好落在AB邊上時，
①∠CA′B′=；旋轉角ɑ=（0°＜ɑ＜90°），線段A′B′與AC的位置關系是；
（2）②設△A′BC的面積為S1 ， △AB′C的面積為S2 ， 則S1與S2的數量關系是什么？證明你的結論；

（3）如圖3，∠MON=60°，OP平分∠MON，OP=PN=4，PQ∥MO交ON于點Q．若在射線OM上存在點F，使S△PNF=S△OPQ ， 請直接寫出相應的OF的長．

Answer 1

【答案】
（1）60°；60°；平行
（2）

解：S1=S2．理由如下：

∵A′B′∥AC，

∴A′E⊥BC，

在Rt△CA′E中，A′E= CA′=1，CE= A′E= ，

∴S1= 12 = ，

S2= 2 = ，

∴S1=S2

（3）

如圖3，作PF1∥ON交OM于F1，作PF2⊥OP交OM于F2，

∵∠MON=60°，OP平分∠MON，

∴∠POQ=∠POF1=30°，

∵PQ∥OM，PF1∥OQ，

∴四邊形OQPF1為平行四邊形，

∴PF1=OQ，

∴S△NF1P=S△POQ，

∵∠OPF2=90°，∠F2OP=30°，

∴∠OF2P=60°，

而∠F2F1P=∠MON=60°，

∴△F2F1P為等邊三角形，

∴PF2=PF1，

由（1）中的結論得S△PNF2=S△OPQ，

∴點F1、點F2為滿足條件的點，

在Rt△OPF2中，sin∠POF2= ，

∴OF2= = ，

∴PF2= OF2= ，

∵PF1∥OQ，

∴∠OPF1=∠POQ=30°，

∴∠OPF1=∠POF1=30°，

∴OF1=PF1=PF2，

∴OF1= ，

綜上所述，OF的長為 或 ．

【解析】解：（1）①如圖1，∵∠C=90°，∠B=∠B′=30°，AC=AC′=2，
∴∠CAB=∠CA′B′=60°，BC=2 ，
如圖2，
∵△A′B′C繞點C旋轉，點A′恰好落在AB邊上，
∴∠CAB=∠CA′B′=60°，CA=CA′，∠ACA′為旋轉角，
∴△CAA′為等邊三角形，
∴∠ACA′=60°，
即旋轉角為60°；
∵∠CA′B′=∠ACA′，
∴A′B′∥AC；
所以答案是60°；60°；平行；

【考點精析】利用全等三角形的性質和圖形的旋轉對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素．