Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸交于點A(10，0)，B(0，－10)，直線MT垂直于直線AB，垂足為M，與y軸交于點T(0，－2) ．

（1）求點M的坐標；

（2）在線段MT的延長線上找一點N，使MT＝TN，求點N的坐標；

（3）若點D在x軸上，∠ABD＝60°，E點在線段BD上運動，∠AEB的平分線交AB于點P，∠EAB的平分線交線段BD于點Q，AQ與EP交于點R． 的值是多少？

Answer 1

【答案】（1）M(4，－6)（2）N(－4，2)（3）1

【解析】試題分析：（1）M點可以看作是直線AB與直線MN的交點，要求交點坐標即要求出這兩條直線的解析式，已知A、B的坐標可以求出直線AB的解析式，結合特殊角可以求出OC的長度，從而求出C的坐標，根據C、T的坐標可以求出直線MN的解析式；（2）作MG⊥y軸于點G，NH⊥y軸于點H，結合已知條件不難證明△NHT≌△MGT，進而求出NH、HO的長度，表示出N的坐標即可；（3）在AE上取一點G，使EQ＝EG ，不難證明△ERG≌△ERQ，由此可得∠EGR=∠ERQ，再由∠AEB的平分線交AB于點P，∠EAB的平分線交線段BD于點Q，∠ABD＝60°可以計算得出∠ERA=120°，進而可以得出∠ERQ=60°，所以∠GRA=∠PRA=60°，接下去不難證明△ARG≌△ARP，可以得出AP=AG，所以==1.

試題解析：

（1）∵A(10，0)，B(0，－10)，

∴AO=BO=10，

∴∠OBA=45°，

∵MN⊥AB，

∴∠TMB=90°，

∴∠BTM=∠CTO=45°，

∴CO=TO，

∵T(0，－2)，

∴CO=TO=2，

∴C（－2，0），

設y=k1x+b1，

，

∴，

∴y=－x－2，

設直線AB解析式為y2=k2x+b2，

，

∴，

∴y=x－10，

，

解得，

∴M（4，－6）；

（2）作MG⊥y軸于點G，NH⊥y軸于點H，

∴∠NHT=∠MGT=90°，

∵在△NHT和△MGT中，

，

∴△NHT≌△MGT，

∴NH=MG=4，HT=GT=4，

∴HO=2，

∴N（－4，2）；

（3）

在AE上取一點G，使EQ＝EG ，

∵PE平分∠AEB，QA平分∠EAB，

∴∠AER=∠AEB，∠EAR=∠EAB，

∴∠AER+∠EAR =（∠AEB+∠EAB），

∵∠ABD=60°，

∴∠AEB+∠EAB=120°，

∴∠AER+∠EAR=60°，

∴∠ERA=120°，

∴∠ERQ=60°，

∵PE平分∠AEB，

∴∠GER=∠QER，

∵在△GER和△QER中，

，

∴△GER≌△QER，

∴∠ERG=∠ERQ=60°，

∴∠ARG=60°，∠ARP=60°，

∵在△ARG和△ARP中，

，

∴△ARG≌△ARP，

∴AP=AG，

∴==1.