Question

【題目】如圖，BC是⊙O的直徑，D、E是⊙O上的兩點，且弧CD=DE，連接EB、DO．

（1）求證：EB∥DO；

（2）連接EC，在∠CEB的外部作∠BEA=∠C，直線EA交CB的延長線于A，求證：直線EA是⊙O的切線；

（3）若EA=2，AB=1，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）⊙O半徑長為．

【解析】

（1）由垂徑定理得：OD⊥EC；由圓周角定理，得：BE⊥EC；由此可證得EB∥DO；

（2）連接OE，證得∠OEA=90°即可；

（3）根據AE2=ABAC，即可求得AC長，進而求得⊙O的半徑長．

（1）∵弧CD=DE，

∴OD⊥EC，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BEC=90°，

∴BE⊥EC，

∴EB∥DO；

（2）連接OE，

∵OC=OE，

∴∠C=∠OEC，

∵∠BEA=∠C，

∴∠BEA=∠OEC，

∵∠CEO+∠BEO=90°，

∴∠BEA+∠BEO=90°，即∠OEA=90°，

∴直線EA是⊙O的切線；

（3）∵AE是切線，AC是割線，

∴由切割線定理知：AE2=ABAC，

∴AC=AE2÷AB=4，

∴BC=AC﹣AB=3，

∴⊙O半徑長為．