Question

如圖，五羊大學建立分校，校本部與分校隔著兩條平行的小河，l₁∥l₂表示小河甲，l₃∥l₄表示小河乙，A為校本部大門，B為分校大門，為方便人員來往，要在兩條小河上各建一座橋，橋面垂直于河岸．圖中的尺寸是：甲河寬8米，乙河寬10米，A到甲河垂直距離為40米，B到乙河垂直距離為20米，兩河距離100米，A、B兩點水平距離（與小河平行方向）120米，為使A、B兩點間來往路程最短，兩座橋都按這個目標而建，那么，此時A、D兩點間來往的路程是多少米？

Answer 1

分析：設在小河甲上建了橋CD，小河乙上建了橋EF，則A、B兩點間來往路徑是折線ACDEFB，作AA′⊥河岸，BB′⊥河岸，由兩點之間線段最短可知折線ACDEFB的長度等于折線AA′DEB′B的長度，等于折線A′DEB′的長度加上兩河寬度和，連接A′B′交l₂于D，交l₃于點E′，搭橋C′D′、E′F′，則折線A′DEB′成為線段A′D′E′B′長度最小，再根據勾股定理即可求出答案．

解答：解：設在小河甲上建了橋CD，小河乙上建了橋EF，則A、B兩點間來往路徑是折線ACDEFB，作AA′⊥河岸，BB′⊥河岸，方向是對著小河，使AA′=小河甲寬度，BB′=小河乙寬度，連A′D，B′E，則折線ACDEFB的長度等于折線AA′DEB′B的長度，等于折線A′DEB′的長度加上兩河寬度和，為使A、B來往路程最短，需使折線A′DEB′的長度達到最小值，因此連接A′B′交l₂于D，交l₃于點E′，搭橋C′D′、E′F′，
則折線A′DEB′成為線段A′D′E′B′長度最小，兩座橋C′D′，E′F′符合要求，
此時所求路程為：x=8+10+A′B′=18+

1202+(40+20+100)2

=18+200=218（米）．
故答案為：218米．

點評：本題考查的是最短路線問題，解答此題的關鍵是利用兩點之間線段最短及軸對稱的知識作出輔助線，利用數形結合求解．