Question

【題目】己知如圖，等腰，，，于點.點是延長線上一點，點是線段上一點，下面的結論： ①；②；③是等邊三角形④.其中正確的是（ ）

A. ①③④B. ①②③C. ①③D. ①②③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用等邊對等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，據此即可求解；
②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；
③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；
④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．

解：①如圖，連接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，

∴OB＝OC，∠ABC＝90°∠BAD＝30°

∵OP＝OC，

∴OB＝OC＝OP，

∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；

②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∵點O是線段AD上一點，

∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；

③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，

∴∠APC＋∠DCP＝150°，

∵∠APO＋∠DCO＝30°，

∴∠OPC＋∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°（∠OPC＋∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等邊三角形；故③正確；

④如圖，在AC上截取AE＝PA，連接PB，

∵∠PAE＝180°∠BAC＝60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，

∴∠APO＋∠OPE＝60°，

∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，

∴∠APO＝∠CPE，

∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO＝CE，

∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正確；

本題正確的結論有：①③④，

故選：A.