Question

【題目】如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分線AG交BC于點G．

（1）求證：∠BAG=∠BGA；

（2）如圖2，∠BCD的平分線CE交AD于點E，與射線GA相交于點F，∠B=50°．

①若點E在線段AD上，求∠AFC的度數；

②若點E在DA的延長線上，直接寫出∠AFC的度數；

（3）如圖3，點P在線段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直線AG上取一點M，使∠PBM=∠DCH，請直接寫出∠ABM：∠PBM的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①20°；②160°；（3）或

【解析】

（1）根據AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根據CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度數，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度數，根據三角形外角的性質求出∠AFC的度數即可；②根據三角形外角性質求出即可；（3）根據M點在BP的上面和下面兩種情況討論，分別求出∠PBM和∠ABM的值即可.

（1）∵AD∥BC，

∴∠GAD=∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠GAD，

∴∠BAG=∠BGA；

（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，

∴∠GCF=45°，

∵AD∥BC，∠ABC=50°，

∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠GAD=65°，

∴∠AFC=65°﹣45°=20°；

②如圖：

∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，

∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；

（3）有兩種情況：

①當M在BC的下方時，如圖：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，

∴∠ABP=（）°，∠PBG=（）°，

∵AG∥CH，

∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，

∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（+25）°=（）°，

∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°=；

②當M在BC的上方時，如圖：

同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（﹣25）°=（）°，

∴∠ABM：∠PBM=（）°：25°=；

綜上，∠ABM：∠PBM的值是或．