Question

【題目】如圖，拋物線經過、兩點，與軸交于另一點．

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出B點的坐標；

（2）已知點在第一象限的拋物線上，求點關于直線對稱的點的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接，點為拋物線上一點，且，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+3x+4．B（4，0）；（2）（0，1）．（3）（2，6）

【解析】

試題分析：（1）將點A、C的坐標代入拋物線的解析式中，然后解方程組即可．然后令y=0，即可解決問題；

（2）首先由（1）的拋物線解析式確定點D的坐標，此時可以看出CD平行于x軸，由于OB=OC，即△OCB是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠DCB=45°，因此點D關于直線BC的對稱點恰好在y軸上，將點C向下平移CD長個單位就能求出這個對稱點的坐標．

（3）利用待定系數法先求出直線BC的解析式，然后過點P作y軸的平行線，交直線BC于點Q，用未知數設出點P、Q的坐標，即可得到線段PQ的長度表達式，以PQ為底、OB為高，即可得到△PBC的面積函數關系式，根據函數的性質即可求出△PBC的面積最大時，點P的坐標．

試題解析：（1）依題意，有：

，解得

∴拋物線的解析式：y=-x2+3x+4．

令y=0，則-x2+3x+4=0

解得：x1=-1，x2=4

故B（4，0）；

（2）將點D（m，m+1）代入y=-x2+3x+4中，得：

-m2+3m+4=m+1，化簡，得：m2-2m-3=0

解得：m1=-1（舍），m2=3；

∴D（3，4），因此CD∥x軸；

由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：

∠OCB=∠DCB=45°；

設點D關于直線BC的對稱點為點E，則點E在y軸上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，則：

點D關于直線BC的對稱點的坐標為（0，1）．

（3）由B（4，0）、C（0，4）可知，直線BC：y=-x+4；

過點P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，

設P（x，-x2+3x+4），則Q（x，-x+4）；

∴PQ=（-x2+3x+4）-（-x+4）=-x2+4x；

S△PCB=PQ×OB=×（-x2+4x）×4=-2（x-2）2+8；

所以，當P（2，6）時，△PCB的面積最大．