Question

【題目】操作：

如圖1，正方形ABCD中，AB=a，點E是CD邊上一個動點，在AD上截取AG=DE，連接EG，過正方形的中線O作OF⊥EG交AD邊于F，連接OE、OG、EF、AC．

探究：

在點E的運動過程中：

（1）猜想線段OE與OG的數量關系？并證明你的結論；

（2）∠EOF的度數會發生變化嗎？若不會，求出其度數，若會，請說明理由．

應用：

（3）當a=6時，試求出△DEF的周長，并寫出DE的取值范圍；

（4）當a的值不確定時：

①若=時，試求的值；

②在圖1中，過點E作EH⊥AB于H，過點F作FG⊥CB于G，EH與FG相交于點M；并將圖1簡化得到圖2，記矩形MHBG的面積為S，試用含a的代數式表示出S的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OE=OG，理由參見解析；（2）不會發生變化，∠EOF=45°；（3）6，（0＜DE＜3）；（4）①，②S=a2，理由參見解析.

【解析】試題分析：（1）連接OD,由正方形的性質和已知條件得到△AOG≌△DOE即可；（2）由△AOG≌△DOE得到結論，再結合同角或等角的余角相等求出∠EOF；（3）判斷出OF垂直平分EG，計算出周長=DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD=AB=6即可；（4）①先判斷出△AOF∽△CEO，得出S△AOF:S△CEO=AF:CE，進而求出．②由△AOF∽△CEO得出對應線段成比例，可導出AF×CE=OA×OC，因為S=AF×CE，所以可求出S=OA×OC=a2.

試題解析：（1）OE=OG，理由：如圖1，

連接OD，在正方形ABCD中，∵點O是正方形中心，∴OA=OD，∠OAD=∠ODC=45°，

∵AG=DE，∴△AOG≌△DOE，∴OE=OG；（2）∠EOF的度數不會發生變化，理由：由（1）可知，△AOG≌△DOE，∴∠DOE=∠AOG，∵∠AOG+∠DOG=90°，∴∠DOE+∠DOG=90°，∴∠DOE=∠AOG，∵∠EOG=90°，∵OE=OG，OF⊥EG，∴∠EOF=45°，∴∠EOF恒為定值；（3）由（2）可知，OE=OG，OF⊥EG，∴OF垂直平分EG，∴△DEF的周長為DE+EF+DF=AG+FG+DF=AD，∵AB=a=6，∴△DEF的周長為AD=AB=a=6，（0＜DE＜3）；（4）①如圖2，

∵∠EOF=45°，∴∠COE+AOF=135°∵∠OAF=45°，∴∠AFO+∠AOF=135°，∴∠COE=∠AFO，∴△AOF∽△CEO，∴S△AOF:S△CEO=(OF:OE)2，∵O到AF與CE的距離相等，∴S△AOF:S△CEO=AF:CE，

∴（）2=，∵＞0，∴=，②猜想：S=a2，理由：如圖3，

由（1）可知，△AOF∽△CEO，∴，∴AF×CE=OA×OC，∵EH⊥AB，FG⊥CB，∠B=90°，∴S=AF×CE，∴S=OA×OC=×=a2．