Question

如圖，一圓錐的底面半徑為2，母線PB的長為6，D為PB的中點．一只螞蟻從點A出發，沿著圓錐的側面爬行到點D，則螞蟻爬行的最短路程為

1. A.
   
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   3

Answer 1

C

分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據“兩點之間線段最短”得出結果．
解答：由題意知，底面圓的直徑AB=4，
故底面周長等于4π．
設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n°

根據底面周長等于展開后扇形的弧長得4π=，
解得n=120°，
所以展開圖中∠APD=120°÷2=60°，
因為半徑PA=PB，∠APB=60°，
故三角形PAB為等邊三角形，
又∵D為PB的中點，
所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，
根據勾股定理求得AD=3，
所以螞蟻爬行的最短距離為3．
故選C．
點評：圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．