Question

通用機械廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當訂購量不多于100個時，每個零件單價為60元；當訂購量多于100個時，每多訂購1個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠價不能低于51元．
（1）設一次訂購量為x個時，零件的實際出廠單價為P（元），請寫出P與x的函數關系式；
（2）若某客戶一次訂購使該廠獲利6000元，求該客戶這一次的訂購量；
（3）若該工廠生產一段時間后，改進了生產工藝，降低了生產成本，經測算，每個零件的生產成本Q（元）與一次訂購量x（個）的函數圖象如下圖所示：
①求改進工藝后，Q與x的函數關系式；
②求改進工藝后，當60≤x≤1100時，工廠所獲利潤W（元）的最大值．

Answer 1

分析：此題是分段函數的典型試題，要分情況討論，如（1）分為3種情況：0＜x≤100時，p=60；100＜x≤550時y=-0.02x+62；x≥550，y=51；（3）0≤x≤100≤時q=40，100＜x≤1100時為q=-0.01x+41.60≤x≤100時w=20x；100＜x≤550時，w=-0.01x²+21x；550＜x≤1100時，w=0.01x²+10x．

解答：解：
（1）分為3種情況：0＜x≤100時，p=60；100＜x≤550時，
設y=kx+b，
把點（100，40），（1100，30）代入
解得k=-0.02，b=62，
所以y=-0.02x+62；x≥550，y=51．
即P=

60(0?x≤100) -0.02x+62(100?x≤550) 51(x≥550)

（2）當y=6000時代入y=-0.02x+62得x=500，即該客戶這一次的訂購量500．

（3）
根據題意可得：①Q=

40(0≤x≤100) -0.01x+41(100?x≤1100)

②W=

20x(60≤x≤100) -0.01x2+21x(100?x≤550) 0.01x2+10x(550?x≤1100)

當x=1100時，W最大為23100元．

點評：主要考查利用一次函數的模型解決實際問題的能力．要先根據題意列出函數關系式，再代數求值．解題的關鍵是要分析題意根據實際意義求解．注意分段函數的要根據自變量的范圍分段求得解析式．