Question

四個頂點都在正方形邊上的四邊形叫做正方形的內接四邊形，如圖1，正方形EFGH就是正方形ABCD的內接正方形，已知正方形ABCD的邊長為a．
（1）請在圖1中畫出面積最小的正方形ABCD的內接正方形E₁F₁G₁H₁（要求用文字標明取點方法）；
（2）如圖2，四邊形E₂F₂G₂H₂是正方形ABCD的內接平行四邊形，AE₂=x，AH₂=y，請探討
①當x、y滿足什么條件時，四邊形E₂F₂G₂H₂是矩形；（要求寫出過程）
②用x的代數式表示矩形E₂F₂G₂H₂的面積S，并寫出S的取值范圍．（直接寫出結果）

Answer 1

解：（1）分別取正方形ABCD四邊中點，順次連接
（2）①證明：△AE₂H₂≌△CG₂F₂，得CF₂=AH₂=y；
△AE₂H₂∽△BF₂E₂，得=，
即=，
化簡得：（x-y）（x+y-a）=0，
∴x=y或x+y=a，
∴當x、y滿足x=y或x+y=a時，四邊形E₂F₂G₂H₂是矩形；
②當x=y時，S=-2x²+2ax（0＜S≤）．
當x+y=a時，S=2x²-2ax+a²（≤S≤a²）．
分析：（1）分別取順次連接正方形ABCD四邊中點即可．
（2）首先證明△AE₂H₂≌△CG₂F₂推出CF₂=AH₂=y，然后證明△AE₂H₂∽△BF₂E₂，利用線段比求出，當四邊形E₂F₂G₂H₂是矩形時，x，y滿足的條件．分x=y，x+y=a兩種情況考慮，得出S的取值范圍．
點評：本題考查的是正方形的性質，相似三角形的判定以及全等三角形的判定的有關知識．