Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D．

（1）求A、B、C、D的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E（m，n）是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，△CBF的面積最大？求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），D（，0）；（2）存在，（ ，4）或（， ）或（，﹣）；（3）△CBF的面積最大為1，E（1，1）

【解析】試題分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標，令x=0，求出y的值，即可得到點C的坐標，求出拋物線對稱軸，然后寫出點D的坐標；

（2）利用勾股定理求出CD，然后分①點C是頂角頂點時，利用等腰三角形三線合一的性質求解，②點D是頂角頂點時，分點P在點D的上方和下方兩種情況寫出點P的坐標；

（3）利用待定系數法求一次函數解析式求出直線BC的解析式，表示出EF，再根據S△CBF=S△CBE+S△BEF列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答．

解：（1）令y=0，則-x2+x+2=0，

解得x1=-1，x2=2，

所以，A（-1，0），B（2，0），

令x=0，則y=2，

所以，點C（0，2），

對稱軸為直線x= ，

所以，點D（，0）；

（2）由（1）可知，OC=2，OD=，

所以，CD=＝，

①點C是頂角頂點時，由等腰三角形三線合一的性質得，點P的縱坐標為點C的2倍，即2×2=4，

所以，點P的坐標為（，4），

②點D是頂角頂點時，若點P在點D的上方，則P（， ），

若點P在點D的下方，則P（， ），

綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P（，4）或（， ）或（，﹣），使△PCD是以CD為腰的等腰三角形；

（3）可求直線BC的解析式為y=﹣x+2，

∵點E（m，n）是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，

∴EF=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，

∴S△CBF=S△CEF+S△BEF= EF·OB =（﹣m2+2m）×2=﹣m2+2m=﹣（m﹣1）2+1，

∴當m=1時，△CBF的面積最大為1，此時，n=﹣1+2=1，所以，點E的坐標為（1，1）．