Question

【題目】（1）問題

如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：ADBC=APBP．

（2）探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？說明理由．

（3）應用

請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A，設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）成立，理由見試題解析；（3）1或5．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；

（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可證到△ADP∽△BPC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；

（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E，根據等腰三角形的性質可得AE=BE=3，根據勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5﹣4=1．易證∠DPC=∠A=∠B．根據ADBC=APBP，就可求出t的值．

試題解析：（1）如圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴ADBC=APBP；

（2）結論ADBC=APBP仍然成立．理由：如圖2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP，∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴，∴ADBC=APBP；

（3）如圖3，過點D作DE⊥AB于點E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3，由勾股定理可得DE=4，∵以點D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1，又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B，由（1）、（2）的經驗可知ADBC=APBP，∴5×1=t（6﹣t），解得：，，∴t的值為1秒或5秒．