Question

【題目】已知，在中，點為的中點．

問題發現

如圖①，若點分別是的中點，連接則線段與的數量關系是 ___ _，線段與的位置關系是 ___ _；

拓展探究

如圖②，若點分別是上的點，且連接上述結論是否依然成立?若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

解決問題

當點分別為延長線上的點，且連接直接寫出的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）結論成立，，證明見解析；（3）10

【解析】

(1)利用三角形中位線的性質，先證明四邊形EFDB和四邊形EFCD是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質即可得到答案；

(2) 連接，證，根據即可算出答案；

(3) 連接，求出，根據三角形的面積公式即可得到答案；

解：，

證明：若點分別是的中點，

則EF是三角形ABC的中位線，

又∵點為的中點，

∴,,

∴四邊形EFDB和四邊形EFCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

∴∠EFD=∠B=45°，∠FED=∠C=45°（平行四邊形對角相等），

∴，

∴∠EDF=180°-45°-45°=90°，

∴；

(2)結論成立，

證明：如解圖①，連接

，點為的中點，

且平分

在和中，

，

，

即

即；

(3)三角形的面積為．

如解圖②，連接

為等腰三角形，

，點為的中點，

又

，

為等腰直角三角形．

在中，

；