Question

如圖，大海中有A和B兩個(gè)島嶼，為測(cè)量它們之間的距離，在海岸線PQ上點(diǎn)E處測(cè)得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在點(diǎn)F處測(cè)得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km。

（1）判斷AB、AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）求兩個(gè)島嶼A和B之間的距離（結(jié)果精確到0.1km）。（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3. 49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer 1

（1）相等；（2）3.6 km

試題分析：（1）先根據(jù)題意證得EF＝BF，再根據(jù)SAS即可證明△AEF≌△ABF，從而求得結(jié)果；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設(shè)AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數(shù)表示出HE與HF，從而可得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解．
（1）相等
∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴EF＝BF．
又∵∠AFP＝60°，
∴∠BFA＝60°．
在△AEF與△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF，
∴AB＝AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H

設(shè)AE＝x，則AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．
Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°
∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，
即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，
∴x≈3.6，即AB≈3.6km．
答：兩個(gè)島嶼A和B之間的距離為3.6km．
點(diǎn)評(píng)：解直角三角形的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是中考必考題，一般難度不大，需熟練掌握.