Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．

(1)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)求證：BC2＝2CDOE；

(3)若，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）DE為⊙O的切線，理由見解析

（2）證明見解析

（3）OE=

【解析】試題分析：（1）連接OD，BD，由直徑所對的圓周角是直角得到∠ADB為直角，可得出△BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，從而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中兩銳角互余，從而可得∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為⊙O的切線；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位線，從而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據三角形中位線定理OE的長即可求得．

試題解析：（1）DE為⊙O的切線，理由如下：

連接OD，BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵E是BC的中點，O點是AB的中點，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=ACCD．

∴BC2=2CDOE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中點，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．