Question

【題目】在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)，其中．

(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)的表達式；

(2)若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象經(jīng)過軸上同一點，探究實數(shù)滿足的關系式；若隨的變化能取得最大值，證明：當取得最大值時，拋物線與軸只有一個交點；

(3)已知點和在函數(shù)的圖象上，若，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）若，則

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得答案；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解：(1)把點代入中，

解得

①當時，；

②當時，

．綜合①②得

(2) 與軸交點為，

與軸交點為，

①當時，此時，

②當時，此時，

若隨的變化能取得最大值時，此時且當時，取得最大值，

此時

令，解得，所以此時函數(shù)與軸只有一個交點

(3) 的對稱軸為

與對應函數(shù)值相等，

又開口向上，

∴若，則

【點晴】

本題是二次函數(shù)的綜合問題，主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解（1）的關鍵是利用待定系數(shù)法；解（2）的關鍵是把點的坐標代入函數(shù)解析式；解（3）的關鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．