Question

已知拋物線y=x²+kx+k-1．
（1）求證：無論k是什么實數，拋物線與x軸相交于一定點；
（2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A（x_A，0），B（x_B，0）兩點，且滿足x_A＜x_B＜0，S_△ABC=6，求此二次函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，y軸負半軸上是否存在一點D，使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點D的坐標，并直接寫出△ACD的外接圓半徑R的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線與x軸相交于一定點，令x²+kx+k-1=0，解方程兩根有一常數，問題得證；
（2）由x_A＜x_B＜0，得1-k＜0，分兩種情況：
①若-1＜1-k，則k＜2，求得1＜k＜2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
②若1-k＜-1，則k＞2，表示出AB、OC，代入S_△ABC=6解答求k；
（3）由y=x²+5x+4求出A、B、C三點的坐標，進一步求得AB、AC，由△CAD∽△ABC，求出CD，得出OD，求出點D的坐標，由△ACD的三邊求出外接圓半徑R．

解答：（1）證明：令y=0，有x²+kx+k-1=0，
解得x₁=-1，x₂=1-k，
∴拋物線與x軸相交于一定點為（-1，0），

（2）解：∵x_A＜x_B＜0，
∴1-k＜0，即k＞1，
①若-1＜1-k，則k＜2，
∴1＜k＜2，這時x_A=-1，x_B=1-k，
∴AB=x_B-x_A=1-k-（-1）=2-k，且OC=k-1，
∴S_△ABC=

1

2

(2-k)(k-1)=6，
整理，得k²-3k+14=0，
∵b²-4ac=（-3）²-4×14＜0，
∴此方程無實數解，即-1＜1-k不成立；
②若1-k＜-1，則k＞2，
∴這時x_A=1-k，x_B=-1，
∴AB=x_B-x_A=-1-（1-k）=k-2，且OC=k-1，
∴S_△ABC=

1

2

(k-2)(k-1)=6，
整理，得（k-5）（k+2）=0，
∴k₁=5，k₂=-2（不合，舍去），
∴所求二次函數的表達式為y=x²+5x+4．

（3）解：如圖，存在一點D，使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，
由（2）知，A（-4，0），B（-1，0），C（0，4），
∴AB=3，OC=4，AC=4

2

，
由于∠CAO=∠OCA=45°，
所以只有△CAD∽△ABC，
于是有

CD

AC

=

AC

AB

，
∴CD=

AC2

AB

=

32

3

，
OD=CD-OC=

32

3

-4=

20

3

，
∴D點坐標為（0，-

20

3

），
∴R=

4

3

17

．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、相似三角形的判定和性質等知識，滲透分類討論及數形結合的思想．