Question

【題目】對于平面直角坐標系 xOy 中的點 A，給出如下定義：若存在點 B（不與點 A 重合，且直線 AB 不與 坐標軸平行或重合），過點 A 作直線 m∥x 軸，過點 B 作直線 n∥y 軸，直線 m，n 相交于點 C．當線段 AC，BC 的長度相等時，稱點 B 為點 A 的等距點，稱三角形 ABC 的面積為點 A 的等距面積． 例如：如 圖，點 A（2，1），點 B（5，4），因為 AC= BC=3，所以 B 為點 A 的等距點，此時點 A 的等距面積為．

(1)點 A 的坐標是（0，1），在點 B1（2，3），B2 (1， 1) ， B3 (3， 2) 中，點A的等距點為 ．

(2)點 A 的坐標是 (3，1) ，點 A 的等距點 B 在第三象限，

①若點 B 的坐標是 (5， 1) ，求此時點 A 的等距面積；

②若點 A 的等距面積不小于 2，請直接寫出點 B 的橫坐標 t 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B1，B3；（2）①2；②t≤-5或-1≤t＜0

【解析】

（1）根據等距點的定義可作判斷；

（2）①計算等腰直角△ACB的面積即可；

②根據題意畫出全等的等腰直角三角形ABC和AB1C1，發現點B可以在射線BF上或線段B1M上，可得t的取值．

解：（1）如圖1，過A作x軸的平行線m，過B1作y軸的平行線n，交于C1，

∵點A的坐標是(0，1)，在點B1(2，3)，

∴AC1=B1C1=2，即B1是點A的等距點，

同理：AC3=B3C3=3，B3是點A的等距點，

AC2≠B2C2，B2不是點A的等距點，

故答案為B1，B3；

（2）①如圖2，根據題意，可知AC⊥BC．

∵A(-3，1)，B(-5，-1)，

∴AC=BC=2．

∴三角形ABC的面積為：ACBC==2．

∴點A的等距面積為2．

②∵三角形ABC的面積為：ACBC≥2，

∴AC=BC≥2，

如圖3，根據①作全等的等腰直角三角形ABC和AB1C1，發現點B可以在射線BF上或線段B1M上，

∵A(-3，1)，

∴B(-5，-1)，B1(-1，-1)，

∴點B的橫坐標t的取值范圍是t≤-5或-1≤t＜0．