Question

【題目】在平面直角坐標系中，點D是拋物線 的頂點，拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側）．

（1）求點A，B的坐標；

（2）若M為對稱軸與x軸交點，且DM=2AM，求拋物線表達式；

（3）當30°<∠ADM<45°時，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A（－1,0），B（3,0）．（2）拋物線的表達式為．（3）<a<．

【解析】

（1）解關于x的方程，結合點A在點B的左側，即可求得點A和點B的坐標；

（2）由（1）中結果易得拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點D坐標為（1，-4a），由此可得點M的坐標為（1，0），AM=2，這樣結合DM=2AM即可得到關于a的方程，解方程求得a的值即可求得此時拋物線的解析式；

（3）畫出圖形如下圖所示，由∠ADM=30°和∠ADM=45°可得和AM=DM，結合（2）中所得AM=2，MD=0-(-4a)=4a即可得到對應的關于a的方程，解方程即可求得對應的a的值.

（1）令y=0，得，

解得，x2=3．

∴A（－1,0），B（3,0）．

（2）∵拋物線與x軸的交點為A（－1，0），B（3，0），

∴拋物線對稱軸為x=1，

∴AM=2，

∵DM=2AM，

∴DM=4．

∵當x=1時，y=-4a，

∴點D的坐標為（1，-4a），

∴0-（-4a）=4，解得a=1，

∴拋物線的表達式為；

（3）圖下圖所示，

當∠ADM=45°時，由題意可得AM=DM，

∵AM=2，DM=0-(-4a)=4a，

∴4a=2，解得：；

當∠ADM=30°時，由題意易得，

∵AM=2，DM=0-(-4a)=4a，

∴，解得：.

綜上可得當30°<∠ADM<45°時，.