Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由AC為圓O的切線，利用切線的性質得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE與BC平行，根據O為DB的中點，得到E為DF的中點，即OE為三角形DBF的中位線，利用中位線定理得到OE為BF的一半，再由OE為DB的一半，等量代換即可得證；
（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，設BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即為BD的長，再由OE為BF的一半，表示出OE，由AB-OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用兩直線平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根據cosB的值，利用銳角三角函數定義列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圓的半徑長．
解答：（1）證明：連接OE，
∵AC與圓O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O為DB的中點，
∴E為DF的中點，即OE為△DBF的中位線，
∴OE=BF，
又∵OE=BD，
則BF=BD；

（2）解：設BC=3x，根據題意得：AB=5x，
又∵CF=1，
∴BF=3x+1，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+1，
∴OE=OB=，AO=AB-OB=5x-=，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，
解得：x=，
則圓O的半徑為=．
點評：此題考查了切線的性質，銳角三角函數定義，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．