Question

已知拋物線有不同的兩點E（k+3，-k²+1）和F（-k-1，-k²+1）。

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D，設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式；
（3）當m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

Answer 1

解：（1）拋物線的對稱軸為
∵拋物線上不同兩個點E和F的縱坐標相同
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則，且k≠-2
∴拋物線的解析式為。
（2）拋物線與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4）
∴AB=，AM=BM=
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°
∴∠BCM=∠AMD
故△BCM∽△AMD
∴，即，
故n和m之間的函數關系式為（m＞0）。
（3）∵F在上
∴
化簡得，
∴k₁=1，k₂=3
即F₁（-2，0）或F₂（-4，-8）
①MF過M（2，2）和F₁（-2，0），設MF為
則，解得
∴直線MF的解析式為
直線MF與x軸交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1）
若MP過點F（-2，0），則n=4-1=3，m=
若MQ過點F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=
②MF過M（2，2）和F₁（-4，-8），設MF為
則，解得
∴直線MF的解析式為
直線MF與x軸交點為（，0），與y軸交點為（0，）
若MP過點F（-4，-8），則n=4-（）=，m=
若MQ過點F（-4，-8），則m=4-=，n=
故當，，或時，∠PMQ的邊過點F。