Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線與∠ABC的角平分線交于點D，

（1）如圖1，判斷∠BAD和∠BCD之間的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2，若∠DAC＝60°時，探究線段AB，BC，BD之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，在（2）的條件下，DA和CB的延長線交于點E，點F是CD上一點且DF＝AE，連接AF交BD于點G，若CE＝9，求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）∠BAD+∠BCD＝180°，見解析；（2）BD＝AB+BC，見解析；（3）.

【解析】

（1）過點D作DG⊥BC于點G，DH⊥BA于點H，根據HL可證明△ADH≌△CDG，可得∠HAD＝∠DCG，得出∠BAD+∠BCD＝180°；

（2）在BD上截取BF＝AB，證明△ABF為等邊三角形，△ADC為等邊三角形，再證明△ABC≌△AFD，可得出DF＝BC，則BD＝BF+DF＝AB+BC．

（3）延長FD至點M，使DM＝DF，證明△EAC≌△MDA，可得AM＝CE，∠MAD＝∠ECA，可由DG＝得出結果．

（1）∠BAD+∠BCD＝180°，理由如下：

如圖1，過點D作DG⊥BC于點G，DH⊥BA于點H，

∵AC的垂直平分線與∠ABC角平分線的交于點D，

∴AD＝DC，∠ABD＝∠DBC，

∴DH＝DG，

∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），

∴∠HAD＝∠DCG，

∵∠BAD+∠HAD＝180°，

∴∠BAD+∠DCG＝180°，

即∠BAD+∠BCD＝180°；

（2）BD＝AB+BC，理由如下：

如圖2，在BD上截取BF＝AB，連結AF，

由（1）知∠BAD+∠BCD＝180°，

∴∠ABC+∠DAC＝180°，

∵∠DAC＝60°，

∴∠ABC＝120°，

∴∠ABD＝∠DBC＝60°，

∴△ABF為等邊三角形，

∴AB＝AF＝BF，∠BAF＝60°，

∵AD＝DC，

∴△ADC為等邊三角形，

∴AD＝AC，∠DAC＝60°，

∴∠DAF＝∠BAC，

∴△ABC≌△AFD（SAS），

∴DF＝BC，

∴BD＝BF+DF＝AB+BC．

（3）由（2）知∠DAC＝∠DBC＝60°，如圖3，延長FD至點M，使DM＝DF，

∴∠ACB＝∠ADB，

∵DM＝DF，DF＝AE，

∴DM＝AE，

∵∠DAC＝∠ADC＝60°，

∴∠ADM＝∠EAC＝120°，

∵AC＝AD，

∴△EAC≌△MDA（SAS），

∴AM＝CE，∠MAD＝∠ECA，

∴∠MAD＝∠ADB，

∴DG∥AM，

∵DF＝DM，

∴AG＝GF，

∴．