Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C、D是半圓O上的兩點，且OD∥BC ， OD與AC交于點E.

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度數；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的長.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是半圓的直徑，

∴∠C=90°，

∵OD∥BC，

∴∠OEA=∠C=90°，∠AOD=∠B=70°，

∵OA=0D，

∴∠D=∠OAD= ，

∴在Rt△ADE中，∠DAC=90°-55°=35°.

（2）解：∵∠OEA=90°，

∴OE⊥AC，

∴AE= AC=1.5，

∵AB=4，

∴AO=OD=2，

∴在Rt△AEO中，OE= ，

∴DE=OD-OE= .

【解析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角得出∠C=90°，再根據OD∥BC，證出∠AOD=∠B=70°及∠OEA=90°，再求出∠D的度數，根據三角形的內角和定理即可求出∠DAC的度數。
（2）由（1）的證明過程可知OE⊥AC，先根據垂徑定理得出AE的長，再在Rt△AEO中，利用勾股定理求出OE的長，然后根據DE=OD-OE，求出結果。
【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和勾股定理的概念，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．