Question

已知正方形ABCD的邊長為4，E是邊CD上的一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、FD、BD，則BD與CF的位置關系式________．
（1）如圖1，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為________；
（2）如圖2，當CE=2（即點E為CD的中點）時，△BDF的面積為________；
（3）如圖3，當CE=3時，△BDF的面積為________．

（4）如圖4，根據上述計算結果，當E是CD邊上任意一點時，請提出你對△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關系的猜想；并證明你的猜想．
（5）如圖5，若E是CD延長線上任意一點時，請你判斷（4）中的結論是否仍然成立．

Answer 1

解：∵正方形ABCD和等腰直角三角形CDF，
∴BC∥AD，BC=CD=EF，
∴四邊形BDFC是平行四邊形，
∴BD∥CF，
故答案為：BD∥CF．

（1）解：AD=DF=4，
∴S_△BDF=DF×AB=×4×4=8，
故答案為：8．

（2）解：△BDF的面積是S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，…
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=×4×4+×4×2-×4×2，
=8，
故答案為：8．

（3）解：△BDF的面積是：S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=×4×4+×4×3-×4×3，
=8，
故答案為：8．

（4）解：S_△BDF=S_{正方形ABCD}，
證明：∵S_{正方形ABCD}=AB×BC=4×4=16，
S_△BDF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=×4×4+×4×EF-×4×EF，
=8，
∴S_△BDF=S_{正方形ABCD．}

（5）仍然成立，
理由是：∵EF=CE，
∴S_{正方形ABCD}=AB×BC，
S_△BDF=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=BC×CD，
∴S_△BDF=S_{正方形ABCD}．
分析：根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質求出BC=EF，BC∥EF，推出平行四邊形BDFC即可；
（1）根據三角形的面積公式求出即可；
（2）根據△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，代入求出即可；
（3）根據△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF，代入求出即可；
（4）根據△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF和EF=CE，代入求出即可；
（5）根據△BDF的面積=S_△BCD+S_△CDF-S_△BCF、EF=CE和正方形的面積，代入求出即可．
點評：本題綜合考查了等腰直角三角形，正方形的性質，三角形的面積，平行四邊形的性質和判定等知識點的應用，題型較好，用的數學思想是類比思想，考查了學生分析問題、解決問題的能力．