Question

【題目】設m是不小于﹣1的實數，使得關于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個實數根x1 ， x2 ．
（1）若x12+x22=2，求m的值；
（2）代數式 + 有無最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意得△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的實數

∴﹣1≤m≤1，

x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，

∵x12+x22=2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，

∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，

整理得m2﹣5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值為1

（2）解：代數式有最大值．理由如下：

+ =m =m =m =﹣2m+2，

∴﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，

∴當m=﹣1時，代數式的值最大，最大值為4

【解析】（1）根據方程有兩個實數根知△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，又m是不小于﹣1的實數，從而得出m的取值范圍﹣1≤m≤1，將方程x12+x22=2變形為（x1+x2）2﹣2x1x2=2，根據根與系數之間的關系得x1+x2=-2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，整體代入得出一個關于m的方程求解得出解得m1=1，m2=4（舍去），從而得出m的值；
（2）代數式有最大值．理由如下：將代數式通分合并，整體代入化簡得出原式=﹣2m+2，又﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，故當m=﹣1時，代數式的值最大，最大值為4
【考點精析】認真審題，首先需要了解因式分解法(已知未知先分離，因式分解是其次．調整系數等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數，間接配方顯優勢)，還要掌握求根公式(根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根)的相關知識才是答題的關鍵．