Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連接AF、BE交于點G，連接CE、DF交于點H．

（1）求證：四邊形EGFH為平行四邊形；

（2）當AB與BC滿足什么條件時，四邊形EGFH為矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當BC=2AB時，平行四邊形EGFH是矩形．理由見解析．

【解析】

（1）可分別證明四邊形AFCE是平行四邊形，四邊形BFDE是平行四邊形，從而得出GF∥EH，GE∥FH，即可證明四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）證出四邊形ABFE是菱形，得出AF⊥BE，即∠EGF=90°，即可得出結論．

（1）連接EF，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，AD=BC．

∵點E、F分別是AD、BC的中點，

∴AE=EDAD，BF=FCBC，

∴AE//FC，AE=FC，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∴GF//EH．

同理可證：ED//BF且ED=BF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∴GE//FH，

∴四邊形EGFH是平行四邊形．

（2）當BC=2AB時，平行四邊形EGFH是矩形．理由如下：

由（1）同理可證四邊形ABFE是平行四邊形，

當BC=2AB時，AB=BF，

∴四邊形ABFE是菱形，

∴AF⊥BE，即∠EGF=90°，

∴平行四邊形EGFH是矩形．