Question

關于x的一元二次方程x²-4x+c=0有實數根，且c為正整數。
（1）求c的值；
（2）若此方程的兩根均為整數，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-4x+c與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于點C，點P為對稱軸上一點，且四邊形OBPC為直角梯形，求PC的長；
（3）將（2）中得到的拋物線沿水平方向平移，設頂點D的坐標為（m，n），當拋物線與（2）中的直角梯形OBPC只有兩個交點，且一個交點在PC邊上時，直接寫出m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）關于x的一元二次方程x²-4x+c=0有實數根，
∴△=16-4c≥0，
∴c≤4，
又∵c為正整數，
∴c=1，2，3，4；
（2）∵方程兩根均為整數，
∴c=3，4，
又∵拋物線與x軸交于A、B兩點，
∴c=3，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵四邊形OBPC為直角梯形，且∠COB=90°，
∴PC// BO，
∵P點在對稱軸上，
∴PC=2；
（3）-2＜m≤0或2＜m≤4。