Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，拋物線的對稱軸交軸于點D，已知點A（-1，0），點C（0，2）．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）線段BC上有一動點P，過點P作軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

（3）若點E在軸上，點F在拋物線上．是否存在以C、D、E、F為頂點且以CD為一邊的平行四邊形？若存在，請你求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當a=2時，PQ有最大值2；(3) 存在3個點符合題意，坐標分別是F1（）、F2（）、F3（3，2）．

【解析】分析：（1）將點A、C坐標代入求出函數解析式；

（2）先求出直線AB的函數解析式，然后設點P坐標為（a，b），并求出對應的點Q的坐標，然后求出線段PQ的最大值；

（3）本題應分情況討論：

①將CD平移，令C點落在x軸（即E點）、D點落在拋物線（即F點）上，可根據平行四邊形的性質，得出F點縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求得F點坐標；

②過C作x軸的平行線，與拋物線的交點符合F點的要求，此時F、C的縱坐標相同，代入拋物線的解析式中即可求出F點坐標．

詳解：（1）∵拋物線過點A（-1，0），C（0，2），

∴.解得.

∴函數解析式為：.

（2）由（1）得，，

令

解得x=-1或x=4.∴A（-1,0）、B（4,0）.

設直線BC解析式為y=kx+b，它過點B（4,0）、C（0，2），

則有，解得.

∴直線BC解析式為.

設點P橫坐標為a，則點P縱坐標為.

∵PQ∥y軸，

∴點Q的橫坐標為a，縱坐標為.

∴PQ=-（）

==

∵，∴其圖象開口向下，有最大值.

∴當a=2時，PQ有最大值2.

（3）如圖所示.

①平移直線CD交x軸于點E，交x軸下方的拋物線于點F.

當CD=E1F1時，四邊形CDEF為平行四邊形.

∵C（0，2），∴設F（x，-2），

代入解析式得：.

解得.

此時存在點F1（）、F2（）

②過點C作CF3∥x軸交拋物線于點F3，過點F3作F3E3∥CD交x

軸于點E3，此時四邊形CDE3F3為平行四邊形.

此時F3縱坐標為2，將縱坐標代入函數解析式得

.

解得：x=0或x=3.

此時存在點F3（3，2）．

綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是F1（）、F2（）、F3（3，2）．