Question

在1×3的矩形內不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩形的每條邊與大矩形的一條邊平行．
（Ⅰ）如圖①放置時，兩個小矩形周長和（兩個小矩形重疊的邊要重復計算）為　　．
（Ⅱ）怎樣放置才能使兩個小矩形周長和最大？在圖②中畫出圖形，其最大值為　　．

Answer 1

  

試題分析：（Ⅰ）根據相似多邊形對應邊成比例列式求出小矩形的寬，然后根據周長公式進行計算即可得解；
（Ⅱ）根據放置方式的不同，分①兩個小矩形都“豎放”時，與（Ⅰ）相同，②兩個小矩形都“橫放”，再分都橫向放置，一上一下放置兩種情況，先表示出一個矩形的長與寬，再根據大矩形是1×3的規格表示出另一個矩形的長與寬，然后根據矩形的周長公式列式整理，即可得解；③兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，先表示出一個矩形的長與寬，再表示出另一個矩形的長與寬，然后根據矩形的周長公式列式整理，然后根據大矩形是1×3的規格求出a的取值范圍，再根據一次函數的增減性解答．
解：（Ⅰ）設小矩形的寬為x，
∵小矩形與大矩形相似，
∴=，
解得x=，
所以，兩個小矩形周長和=2×2（1+）=；
（Ⅱ）

兩個矩形的放置方式情況有如下幾種：
①兩個小矩形都“豎放”，在這種放法下，周長和最大的兩個小矩形邊長分別為1和，周長和的最大值為；

②兩個小矩形都“橫放”，

這時兩個小矩形的周長和的最大值為：
2（a+3a）+2[1﹣a+3（1﹣a）]=8a+2（1﹣a+3﹣3a）=8a+8﹣8a=8；
③兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，這時兩個小矩形的周長和為：
2（a+3a）+2（3﹣a+）=8a+6﹣2a+2﹣a=8+，

因為0＜3a≤1，即0＜a≤，
故當a=時，此時兩個小矩形的周長和最大為8+=．
故答案為：；．
點評：本題考查了相似多邊形的性質，矩形的性質，主要利用了相似多邊形對應邊成比例的性質，（2）要根據放置方式的不同進行討論求解．