Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45°，AD與BE交于點F，連接CF．

（1）求證：BF=2AE；
（2）若CD= ，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中， ，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD= ，
在Rt△CDF中，CF= = =2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2
∴AD=AF+DF=2+ ．
【解析】（1）要證BF=2AE，根據等腰三角形三線合一的性質可知AC=2AE，只需證明AC=BF，就需證△ADC≌△BDF，即可證得結論。
（2）由△ADC≌△BDF得出DF=CD= ，再利用勾股定理求出CF的長，再根據線段垂直平分線的性質證出 AF=CF=2，然后根據AD=AF+DF即可得出結果。