Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線經過原點O， 點B(-2，n)在這條拋物線上.

（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線沿y軸向下平移b個單位后得到直線l， 若直線l經過B點，求n、b的值；
（3）在（2）的條件下，設拋物線的對稱軸與x軸交于點C，直線l與y軸交于點D，且與拋物線的對稱軸交于點E.若P是拋物線上一點，且PB=PE，求P點的坐標.

Answer 1

（1）；（2）3，1；（3）(，)或(，).

試題分析：（1）根據拋物線經過原點即可求得m的值，再結合二次項系數不為0即可得到結果；
（2）由點B(-2，n)在拋物線上可求得n的值，即得B點的坐標，根據平移的規律可得直線l的解析式為，由直線l經過B點即可求得結果；
（3）拋物線的對稱軸為直線x=2，則對稱軸與x軸的交點C的坐標為(2，0)，直線l與y軸、直線x=2的交點坐標分別為 D(0，-1)、E(2，-5).過點B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F.則BG=4.在Rt△BGC中，根據勾股定理可求得CB的長，過點E作EH⊥y軸于H.則點H的坐標為 (0，-5).證得△DFB≌△DHE，即可得到點P在直線CD上，即有符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.設直線CD的解析式為y="kx+a." 將D(0，-1)、C(2，0)代入即可求得直線CD的解析式，從而求得結果.
（1）∵拋物線經過原點，
∴m²-6m+8=0．解得m₁=2，m₂=4．
由題意知m¹4，
∴m=2
∴拋物線的解析式為；
（2）∵點B(-2，n)在拋物線上，
∴n=3．
∴B點的坐標為(–2，3) ．
∵直線l的解析式為，直線l經過B點，
∴．
∴；
（3）∵拋物線的對稱軸為直線x=2，直線l的解析式為y=-2x-1，
∴拋物線的對稱軸與x軸的交點C的坐標為(2，0)，
直線l與y軸、直線x=2的交點坐標分別為 D(0，-1)、E(2，-5).
過點B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F.

則BG=4.    
在Rt△BGC中，.
∵CE=5，
∴CB=CE. 
過點E作EH⊥y軸于H.
則點H的坐標為 (0，-5).
∵點F、D的坐標為F(0，3)、D(0，-1)，
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE .
∴DB="DE."
∵PB=PE，
∴點P在直線CD上.
∴符合條件的點P是直線CD與該拋物線的交點.
設直線CD的解析式為y="kx+a."
將D(0，-1)、C(2，0)代入，得 解得
∴直線CD的解析式為.
設點P的坐標為(x，)，
∴=.
解得 ，.
∴，.
∴點P的坐標為(，)或(，).
點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.