Question

【題目】已知：如圖，直線MN⊥PQ于點C，△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，斜邊AB交直線PQ于點D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分線交EC的延長線于點F，∠A=36°．
（1）如圖1，當AB∥MN時，求∠F的度數．
（2）如圖2，當△ACB繞C點旋轉一定的角度（即AB與MN不平行），其他條件不變，問∠F的度數是否發生改變？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB∥MN，直線MN⊥PQ，

∴PQ⊥AB，

∴∠BDC=∠DCN=90°，

∵∠ACN=∠A=36°，CE平分∠ACN，

∴∠ACE=18°，∠ACD=90°﹣∠A=54°，

∴∠DCE=∠ACD+○ACE=72°，

∵DF平分∠CDB，

∴∠CDF=45°，

∴∠F=∠DCE﹣∠CDF=27°

（2）解：不發生改變．

理由：∵CE是∠ACN的平分線，

∴∠ACE= ∠ACN，

∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+ ∠ACN，

∵∠BDC=∠A+∠ACD，DF平分∠BDC，

∴∠CDF= ∠BDC= ∠A+ ∠ACD，

∴∠F=∠DCE﹣∠CDF=∠ACD+ ∠ACN﹣ ∠A﹣ ∠ACD= （∠ACN+∠ACD）﹣ ∠A= ×90°﹣ ×36°=27°

【解析】（1）由AB∥MN，直線MN⊥PQ，CE平分∠ACN，DF平分∠CDB，易求得∠DCE與∠CDF的度數，然后利用三角形外角的性質，求得∠F的度數．（2）由題意可得∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+ ∠ACN，∠CDF= ∠BDC= ∠A+ ∠ACD，則可得∠F=∠DCE﹣∠CDF=∠ACD+ ∠ACN﹣ ∠A﹣ ∠ACD= （∠ACN+∠ACD）﹣ ∠A，繼而求得答案．
【考點精析】關于本題考查的平行線的性質和三角形的內角和外角，需要了解兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角才能得出正確答案．