Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AD是⊙O直徑，E是CB延長線上一點，且∠BAE=∠C．

（1）求證：直線AE是⊙O的切線；

（2）若∠BAE=30°，⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；

（3）若EB=AB，cos∠E=，AE=24，求EB的長及⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) π﹣；(3)BE=20,半徑：.

【解析】

（1）連接BD，利用圓周角定理得到∠ABD=90°，則∠D+∠DAB=90°，再利用等量代換證明∠DAE=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）連接OB，先計算出∠OAB=60°，得到△AOB為等邊三角形，所以∠AOB=60°，然后利用陰影部份的面積=S扇形AOB﹣S△AOB進行計算；

（3）作BH⊥AE于H，利用等腰三角形的性質得AH=EH=AE=12，∠E=∠BAE．在Rt△BEH中利用余弦的定義可計算出BE=20，則AB=20，由于∠D=∠C=∠BAE=∠E，則cos∠D=．在Rt△ABD中，cos∠D==，設BD=3x，AD=5x，易得4x=20，解出x得到AD的長，從而得到⊙O的半徑．

（1）連接BD，如圖，∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠DAB=90°．

∵∠C=∠D，∠BAE=∠C，∴∠BAE+∠DAB=90°，即∠DAE=90°，∴AD⊥AE，∴直線AE是⊙O的切線；

（2）連接OB，如圖，∵∠BAE=30°，∴∠OAB=60°，而OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴陰影部份的面積=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×22=π﹣；

（3）作BH⊥AE于H，如圖，∵EB=AB，∴AH=EH=AE=12，∠E=∠BAE．在Rt△BEH中，∵cos∠E==，∴BE=12×=20，∴AB=BE=20．

∵∠D=∠C=∠BAE=∠E，∴cos∠D=．在Rt△ABD中，cos∠D==，設BD=3x，AD=5x，∴AB=4x，即4x=20，解得：x=5，∴AD=25，∴⊙O的半徑為．